Rotation du disque

En astronomie conventionnelle, le disque mathématique représentant la Lune est interprété comme tournant sur son axe pendant qu’il tourne autour d’un point représentant la Terre. Le présent article analyse cette affirmation en utilisant uniquement la géométrie euclidienne.

Géométrie du modèle standard

Indépendamment de sa présentation, le modèle standard se caractérise par un disque tournant autour d’un point fixe tout en maintenant alignés les trois points suivants :

E (Earth) représente le centre de la Terre. C’est le seul point fixe de la figure.
M (Moon) représente le centre de la Lune.
N (Nearest) représente l’origine des coordonnées sélénographiques. Il s’agit du point de la Lune le plus proche de la Terre, situé près du cratère Mösting A.

Que le modèle soit représenté statiquement, comme ci-dessus, ou dynamiquement, comme dans les animations usuelles ¹, on peut toujours identifier les trois points — E, M et N — qui demeurent alignés tout au long du mouvement lorsque le disque tourne autour du point E.

Proposition

Dans le plan, un segment de droite qui tourne autour d’un point fixe ne peut pas tourner autour d’un autre point.

Analyse du modèle

D’après la proposition précédente, le segment EM tournant autour du point E ne peut pas tourner autour du point M. Il en va de même pour le segment NM puisqu’il fait partie du segment EM. Or le disque est solidaire du segment NM. Par conséquent, le disque ne tourne pas autour de son centre M.

¹ Voir la page de la NASA consacrée au verrouillage gravitationnel (https://science.nasa.gov/moon/tidal-locking/) ainsi que l’article de Wikipédia (Rotation synchrone — Wikipédia).. Chacun présente deux figures : celle de gauche montre la représentation standard de la Lune; celle de droite illustre une configuration hypothétique dans laquelle le segment MN reste horizontal.

COMPLÉMENTS

Cette démonstration constitue un pilier essentiel pour l’ensemble du site.
Je porterai donc une attention particulière à toute réserve ou objection que vous pourriez formuler dans vos commentaires en bas de cet article.

Pour lancer le débat, je réponds à trois objections souvent reçues au cours des quinze années écoulées dans mes échanges avec astronomes, mathématiciens, enseignants, … et dernièrement chatbots.

Objection 1 — La composition des mouvements

La démonstration s’appliquerait aux mouvements qui sont des rotations pures, pas aux mouvements composés.

Ma réponse:
Je construis à la règle et au compas une simulation pas à pas du(des) mouvement(s) du disque. Pour construire le pas qui conduira du segment N₁M₁ au segment N₂M₂, il me suffit de faire tourner le segment N₁M₁ autour du point E de l’angle d’incrémentation (choisi aussi petit que je veux). Toute rotation supplémentaire autour du point M détruirait l’alignement des points E, N₂, M₂.

Objection 2 — Les systèmes de référence

Le segment NM tournerait d’un tour dans le repère fixe lié au plan.
On trouvera un exemple d’emploi de cet argument au début du débat que j’avais lancé sur https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2330625/rotation-dun-disque/p1.

Ma réponse:
C’est exact. Mais le segment NM tourne autour du point E et non autour du point M.

Objection 3 — La translation circulaire

On se référera à la figure de droite des sites NASA et Wikipedia précités, en y reportant les points E, N et M .
Le disque de la figure de droite ne tournerait pas sur lui-même car il s’agirait d’une translation circulaire.

Ma réponse:
On peut effectivement générer la figure par translation circulaire, mais dans ce cas les points N et M ne tourneraient pas autour d’un seul point fixe. Si c’est le point M par exemple qui tourne autour du point E (0, 0), alors le point N tournerait autour d’un point situé en (-nm, 0), nm étant égal à la longueur du segment NM.

Si on suppose que le segment NM orbite autour du seul point fixe E, alors pour maintenir le segment NM horizontal on doit le faire tourner en plus autour d’un autre point, M par exemple, d’un angle de valeur opposée à celle de l’angle de l’orbite. Le disque de droite tourne sur lui-même à la même vitesse que l’orbite mais en sens opposé.

La figure de droite joue un rôle crucial dans la mystification des esprits, à cause de sa puissance de suggestion, encore plus forte que celle de la figure de gauche. Pour en donner une idée, faisons pivoter la figure d’un quart de tour. Nous obtenons alors une bonne représentation du mouvement de la nacelle d’une grande roue qui nous permet de méditer sur le mirage suivant: aussi longtemps que nous observions une grande roue tourner, nous n’arriverons jamais à nous imaginer la rotation d’une nacelle sur elle-même autour de son axe de suspension, même si ce dernier grince par manque d’entretien.

Gilbert Vidal — retired engineer (France)